Mécanique, tome 2 : Mathématiques spéciales, premier cycle universitaire PDF

Please forward this error screen to cloud1. Please forward this error screen to cloud1. 1954 de la  théorie KAM , du mécanique, tome 2 : Mathématiques spéciales, premier cycle universitaire PDF de ses trois concepteurs : Kolmogorov, Arnold et Moser. Ce problème a été réglé pour l’astronomie par Poincaré en 1892 : la  série  de perturbation doit être comprise mathématiquement comme un développement asymptotique au voisinage de zéro, et non comme une série ordinaire convergente uniformément.


II y a entre les géomètres et les astronomes une sorte de malentendu au sujet de la signification du mot convergence. Les géomètres préoccupés de la parfaite rigueur et souvent trop indifférents à la longueur de calculs inextricables dont ils conçoivent la possibilité, sans songer à les entreprendre effectivement, disent qu’une série est convergente quand la somme des termes tend vers une limite déterminée, quand même les premiers termes diminueraient très lentement. 1000 premiers termes vont en décroissant et que cette décroissance est d’abord très rapide. Toutes deux doivent régner, mais dans deux domaines séparés et dont il importe de bien connaître les frontières. On peut ainsi parler de séries convergentes  au sens des géomètres  ou  au sens des astronomes .

Notons que pratiquement, dans les applications, on constate que, presque toujours, les séries convergentes au sens des astronomes ont un terme général qui croît très vite après avoir d’abord diminué. Ainsi, ce que Poincaré envisageait comme possibilité est en fait la règle. C’est d’ailleurs ce qui fait l’efficacité pratique de la théorie des perturbations en physique théorique : il suffit le plus souvent de calculer les quelques premiers termes du développement asymptotique – ceux qui semblent commencer par converger – pour obtenir une très bonne approximation du résultat exact inconnu. Notons qu’il existe certaines procédures de  sommation  qui permettent de donner un sens à certaines séries divergentes, comme par exemple la sommation de Borel ou l’approximant de Padé. On en déduit l’expression au premier ordre de la théorie de perturbation.

Ce terme non borné est appelé terme séculaire, du mot latin saeculum qui signifie siècle. Dans le cadre de l’astronomie, la présence de ces termes séculaires empêchent d’étudier le futur à long terme des trajectoires planétaires, l’unité de temps caractéristique du problème étant le siècle. L’idée de Lindstedt est la suivante : dans certains cas, les termes séculaires peuvent être dus au fait que l’on développe incorrectement les expressions. Lindstedt va utiliser cette remarque de façon systématique. Illustrons la méthode dans le paragraphe suivant avec l’oscillateur de Duffing.

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